برای اثبات اینکه ضرب یک عدد فرد در یک عدد زوج همیشه عدد زوج را تولید میکند، میتوانیم از تعریف اعداد فرد و زوج استفاده کنیم.
1. **تعریف عدد فرد**: عدد فرد عددی است که وقتی بر ۲ تقسیم میشود، باقیمانده ۱ دارد. به عبارتی، عدد فرد را میتوان به شکل زیر نوشت:
\[
n = 2k + 1
\]
که در آن \( k \) یک عدد صحیح (صحیح) است.
2. **تعریف عدد زوج**: عدد زوج عددی است که وقتی بر ۲ تقسیم میشود، باقیمانده ۰ دارد. به عبارتی، عدد زوج را میتوان به شکل زیر نوشت:
\[
m = 2j
\]
که در آن \( j \) هم یک عدد صحیح است.
3. **ضرب عدد فرد و زوج**: حالا بیایید عدد فرد \( n \) و عدد زوج \( m \) را با هم ضرب کنیم:
\[
n \times m = (2k + 1) \times (2j)
\]
4. **محاسبه ضرب**:
\[
n \times m = 2k \times 2j + 1 \times 2j = 4kj + 2j
\]
5. **فاکتورگیری**: در اینجا، میتوانیم هر دو جمله را به ۲ تقسیم کنیم:
\[
n \times m = 2(2kj + j)
\]
6. **نتیجهگیری**: چون \( (2kj + j) \) یک عدد صحیح است، بنابراین \( n \times m \) قابل نوشتن به صورت \( 2 \) ضرب یک عدد صحیح است. این یعنی حاصلضرب یک عدد فرد و یک عدد زوج، همیشه یک عدد زوج خواهد بود.
بنابراین ثابت کردیم که ضرب یک عدد فرد در یک عدد زوج همیشه عدد زوج خواهد بود.